392. Piłka odbija się sprężyście od ściany - co można powiedzieć o pędzie piłki?
Zadanie - zderzenie sprężyste ciała z nieskończoną ścianą.
Piłka o masie m uderza w ścianę i odbija się od niej sprężyście.
Szybkość piłki przed i po odbiciu wynosi v.
- Narysować wektor pędu piłki przed zderzeniem ze ścianą.
- Obliczyć wartość wektora pędu piłki przed zderzeniem ze ścianą.
- Narysować wektor pędu piłki po zderzeniu ze ścianą.
- Obliczyć wartość wektora pędu piłki po zderzeniu ze ścianą.
- Narysować wektor zmiany pędu piłki.
- Obliczyć wartość wektora zmiany pędu.
- Jaki jest kierunek siły, którą ściana działa na piłkę?
- Jaki jest zwrot siły, którą ściana działa na piłkę?
- Co jest potrzebne do obliczenia siły, z jaką ściana działała na piłkę.
Zakładamy, że:
- ściana jest nieruchoma;
- piłka wykonuje wyłącznie ruch postępowy;
- w trakcie zderzenia piłki ze ścianą nie ma tarcia;
- zderzenie jest idealnie sprężyste;
- ściana ma nieskończoną masę;
- pomijamy w rozważaniach odkształcenia piłki i ściany.
Przy takich założeniach kąt padania piłki i kąt odbicia piłki od ściany są równe.
Wektor pędu piłki przed zderzeniem ze ścianą możemy narysować tylko dla chwili przed zderzeniem ponieważ nie znamy ruchy wcześniej. Tuż przed zderzeniem możemy ruch potraktować jak prostoliniowy. Wtedy wektor pędu ma kierunek i zwrot znanego wektora prędkości - wektor ten ustawiony jest pod kątem alfa do prostopadłej do ściany poprowadzonej przez punkt zderzenia ze ścianą. Długość tego wektora jest równa iloczynowi wartości prędkości i masy piłki przedstawionemu w określonej skali. Na rysunku przedstawia go wektor p1.
Podobnie możemy przedstawić wektor pędu tuż po zderzeniu - znamy kierunek i wartość wektora prędkości. Na rysunku jest to wektor p2. Wartość wektora pędu tuz po zderzeniu równa jest iloczynowi wartości prędkości i masy piłki.
Wektor zmiany pędu piłki w trakcie zderzenia narysujemy wykorzystując regułę odejmowania wektorów - ich odejmowanie zastępujemy dodaniem do odjemnej wektora przeciwnego do odjemnika. W naszym przypadku będzie to suma wektorów p2 i wektora - p1.
Geometrycznie uzyskamy wektor zmiany pędu piłki w trakcie zderzenia jako przekątną rombu o bokach mających długość równą wartości pędu tuż przed zderzeniem (lub w chwilę po zderzeniu). Wektor zmiany pędu ma kierunek prostopadły do ściany - na rysunku wektor p.
Obliczenie wartości wektora zmiany pędu w trakcie zderzenia piłki ze ścianą jest obliczeniem długości przekątnej rombu równej podwójnej wysokości trójkąta równoramiennego o ramionach utworzonych przez wektor p2 i wektor -p1.
Wysokość takiego trójkąta równa jest iloczynowi długości ramienia i kosinusa kąta alfa lub kąta beta. Oba kąty mają taką samą miarę.
Zadanie ma praktyczny wymiar. Jest bowiem modelem zderzeń rzeczywistej piłki ze ścianą, nogą, ręką. Jest modelem opisującym zderzenia często występujące choć bardzo specyficzne. Większość rzeczywistych zderzeń jest bardziej złożona, ponieważ występuje w nich również ruch obrotowy oraz tarcie ze wszystkimi tego konsekwencjami.
Rozpatrzenie tak prostego modelu daje odpowiedź na pytanie o granice możliwości
bez dostarczenia energii prędkość piłki nie może być większa niż przed zderzeniem;
każde skomplikowanie ruchu (połączenie ruchu postępowego z obrotowym) powoduje zmianę kierunku pędu czyli również zmianę kierunku ruchu o inny kąt niż przy rozpatrywanym wyżej;
każde realne zderzenie piłki z obiektem o porównywalnej masie powoduje również zmianę ruchu obiektu z którym piłka się zderzyła.
Większość obiektów materialnych wykonuje złożony ruch - połączenie ruchu ciała wzdłuż jakiejś linii i ruch obrotowy wokół osi. Dotyczy to również cząsteczek w gazach. Każda cząsteczka dwuatomowa (nie mówiąc o większych) oprócz ruchu po jakiejś linii wykonuje ruch obrotowy. Oznacza to, że energia ruchu cząsteczek to suma energii ruchu postępowego i ruchu obrotowego.
Siła wywołująca zmianę ruchu ma kierunek zmiany pędu oraz taki sam zwrot jak wektor zmiany pędu. Siła ta ma kierunek prostopadły do ściany. Jest tak tylko wtedy, gdy spełnione są wymienione wyżej założenia, a szczególnie założenie o braku ruchu obrotowego piłki i braku tarcia między piłką i ścianą w trakcie zderzenia.
Swoją drogą ciekawe jak odbywa się takie zderzenie? Czy przy opisie zjawiska zderzenia można pominąć tarcie?
Do obliczenia siły (średniej!) potrzebna jest informacja o czasie trwania zderzenia. Próba oceny czasu zderzenia wymaga jednak uwzględnienia odkształcenia piłki (i ściany?). To już jednak zupełnie inna bajka.
Zadania podobne do powyższego umożliwiają nam ustalenie jakie są sytuacje krańcowe wręcz ekstremalne w rzeczywistych zjawiskach.
Zadanie ma praktyczny wymiar. Jest bowiem modelem zderzeń rzeczywistej piłki ze ścianą, nogą, ręką. Jest modelem opisującym zderzenia często występujące choć bardzo specyficzne. Większość rzeczywistych zderzeń jest bardziej złożona, ponieważ występuje w nich również ruch obrotowy oraz tarcie ze wszystkimi tego konsekwencjami.
Rozpatrzenie tak prostego modelu daje odpowiedź na pytanie o granice możliwości
bez dostarczenia energii prędkość piłki nie może być większa niż przed zderzeniem;
każde skomplikowanie ruchu (połączenie ruchu postępowego z obrotowym) powoduje zmianę kierunku pędu czyli również zmianę kierunku ruchu o inny kąt niż przy rozpatrywanym wyżej;
każde realne zderzenie piłki z obiektem o porównywalnej masie powoduje również zmianę ruchu obiektu z którym piłka się zderzyła.
Większość obiektów materialnych wykonuje złożony ruch – połączenie ruchu ciała wzdłuż jakiejś linii i ruch obrotowy wokół osi. Dotyczy to również cząsteczek w gazach. Każda cząsteczka dwuatomowa (nie mówiąc o większych) oprócz ruchu po jakiejś linii wykonuje ruch obrotowy. Oznacza to, że energia ruchu cząsteczek to suma energii ruchu postępowego i ruchu obrotowego.
Siła wywołująca zmianę ruchu ma kierunek zmiany pędu oraz taki sam zwrot jak wektor zmiany pędu. Siła ta ma kierunek prostopadły do ściany. Jest tak tylko wtedy, gdy spełnione są wymienione wyżej założenia, a szczególnie założenie o braku ruchu obrotowego piłki i braku tarcia między piłką i ścianą w trakcie zderzenia.
Swoją drogą ciekawe jak odbywa się takie zderzenie? Czy przy opisie zjawiska zderzenia można pominąć tarcie?
Do obliczenia siły (średniej!) potrzebna jest informacja o czasie trwania zderzenia. Próba oceny czasu zderzenia wymaga jednak uwzględnienia odkształcenia piłki (i ściany?). To już jednak zupełnie inna bajka.
Zadania podobne do powyższego umożliwiają nam ustalenie jakie są sytuacje krańcowe wręcz ekstremalne w rzeczywistych zjawiskach.
392.6-2009.06.29
Pomoc z matematyki
Rozwiązane zadania i przykłady z matematyki
Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?
kontakt