424. Wykorzystanie własności wahadła matematycznego

Zadanie
Jaką szybkość należy nadać kulce wiszącej na nitce o długości l, aby odchyliła się od początkowego położenia o kąt α (alfa)?

ATOM,       Mechanika,      OPTYKA,      grawitacja,    Elektrostatyka,      Magnetyzm,    Prąd elektryczny,       Energia,    Szybkość ruchu,    Kinematyka,         RUCH PO OKRĘGU,    Dynamika,       Elektromagnetyzm,     Rzuty,    
Zadanie z ruchu po okręgu
Pojazd kołowy porusza się bez poślizgu z prędkością chwilową o wartości 54 km na godzinę. Promień kół wynosi 60cm.
Ile obrotów w ciągu sekundy wykonują koła tego pojazdu?
Jaki jest
okres obiegu
koła?

Jakie jest
przyspieszenie dośrodkowe
punktu znajdującego się na powierzchni bieżnika koła?

Wahadło proste inaczej zwane wahadło matematyczne

Jednym z ważnych dziedzin dynamiki jest badanie ruchów drgających.

Ważnym przykładem takich ruchów są wahania ciał zawieszonych lub podpartych.

Wahadło proste czyli wahadło matematyczne to ciało o niewielkich rozmiarach i stosunkowo dużej masie zawieszone na nierozciągliwej nici w polu grawitacyjnym.

W obliczeniach będziemy zakładać, że

• cała masa wahadła skupiona jest w zawieszonym na nitce ciele (nić nie ma masy);



• nić jest nierozciągliwa (nie zmienia rozmiarów) i zachowuje się jak sztywny pręt (nie wygina się)
  

Zakładamy, że układ odniesienia umieszczony jest w punkcie równowagi wahadła.
Oznacza to, że ciało znajdujące się w tym punkcie nie ma energii potencjalnej.

Zakładamy, że wahadło umieszczone jest w jednorodnym polu grawitacyjnym i nie ma oporów ruchu (nie ma ośrodka materialnego wywołującego opory).

Przykładem zadania wykorzystującego właściwości wahadła prostego jest następujące zagadnienie

Zadanie - przykład rozwiązania

Jaką szybkość należy nadać kulce wiszącej na nitce o długości l, aby odchyliła się od początkowego położenia o kąt α?

Wahadło matematyczne można na rysunku przedstawić następująco:



Na ciało o masie m spoczywające na poziomym torze zaczyna w pewnej chwili działać pozioma niezrównoważona siła o stałej wartości F. Jaką drogę s przebędzie ciało w ciągu czasu t działania siły?



Wahadło odchylone o kąt α przedstawia kolejny rysunek



Na rysunku można teraz przedstawić trójkąt prostokątny utworzony przez

• odcinek wahadła w stanie początkowym (położeniu równowagi),



• wahadło w stanie wychylenia i



• odcinek poziomy (prostopadły do wahadła w stanie równowagi) poprowadzony z punktu w którym znajduje się masa.

Zadanie z grawitacji

Jaką wartość ma pierwsza prędkość kosmiczna dla planety o masie Ziemi i promieniu p razy większym niż Ziemia?



Interesują nas:

• kąt wychylenia α wahadła (kąt między wychylonym wahadłem a wahadłem w płożeniu równowagi)
  
  
  
  
• przyprostokątna - długość wahadła l pomniejszona o wysokość h na jaką ciało podniosło się
  przeciwprostokątna - długość wahadła l
  

Kąt wychylenia wahadła α spełnia warunek - kosinus kąta wychylenia α równy jest ilorazowi długości wahadła l pomniejszonej o wysokość h przez długość wahadła



Kosinus (cos α) kąta wychylenia α można przedstawić w trochę innej postaci



Z wyrażenia na kosinus kąta wychylenia wahadła α otrzymamy wyrażenie na wysokość h, na jaką wzniosło się ciało.




Zakładamy, że nie ma oporów ruchu i wahadło nie traci swej energii. następuje tylko ciągła przemiana energii kinetycznej i potencjalnej.

W chwili początkowej wahadło miało wyłącznie energię kinetyczną. Jest to energia kinetyczna ciała poruszającego się, zawieszonego na nieważkiej nici.

W chwili, gdy ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości będzie miało wyłącznie energię potencjalną.

Energię tę obliczamy względem punktu równowagi wahadła.



Wykorzystujemy więc zasadę zachowania energii mechanicznej (nie ma przemiany energii mechanicznej na inne formy i nie ma rozpraszania energii do ośrodka).

Porównanie obu wyrażeń na energię daje nam wyrażenie na prędkość w punkcie równowagi.

Jest to też prędkość początkowa.



Do wyrażenia na prędkość wahadła (ciała) wstawiamy wyrażenie na wysokość, na jaką wznosi się maksymalnie ciało. Wyrażenie to zawiera kąt wychylenia wahadła.



W rzeczywistych wahadłach musimy uwzględnić:

• opory ruchu



• własności nici (linki, pręta) na którym jest umocowane ciał.

Rozwiązanie zadania szkolnego - idealnego - daje ważną informację o tym jaka jest potrzebna minimalna prędkość w punkcie równowagi i tym samym jaka jest minimalna energia początkowa wahadła (poruszającego się ciała).

W zadaniach szkolnych (i nie tylko) często tego aspektu rozwiązań teoretycznych (idealnych) nie porusza się.

Podobnie bywa też przy analizie zagadnień z innych nauk, np. ekonomicznych. Wtedy wszelkie odstępstwa od przewidywań modelu często nazywane są błędami teorii, bez wnikania w istotę modelu i otrzymanego rozwiązania oraz relacji między modelem a realnym światem.

ATOM,       Mechanika,      OPTYKA,      grawitacja,    Elektrostatyka,      Magnetyzm,    Prąd elektryczny,       Energia,    Szybkość ruchu,    Kinematyka,         RUCH PO OKRĘGU,    Dynamika,       Elektromagnetyzm,     Rzuty,    

424.15-2010.02.27

---

Pomoc z matematyki

Rozwiązane zadania i przykłady z matematyki

---

Pomoc z historii

Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?

---

kontakt