Strona główna na telefon
424. Wykorzystanie własności wahadła matematycznego
Zadanie
Jaką szybkość należy nadać kulce wiszącej na nitce o długości l, aby odchyliła się od początkowego położenia o kąt α (alfa)?
Zadanie z ruchu po okręgu
Pojazd kołowy porusza się bez poślizgu z prędkością chwilową o wartości 54 km na godzinę. Promień kół wynosi 60cm.
Ile obrotów w ciągu sekundy wykonują koła tego pojazdu?
Jaki jest okres obiegu koła?
Jakie jest przyspieszenie dośrodkowe punktu znajdującego się na powierzchni bieżnika koła?
Wahadło proste inaczej zwane wahadło matematyczne
Jednym z ważnych dziedzin dynamiki jest badanie ruchów drgających.
Ważnym przykładem takich ruchów są wahania ciał zawieszonych lub podpartych.
Wahadło proste czyli wahadło matematyczne to ciało o niewielkich rozmiarach i stosunkowo dużej masie zawieszone na nierozciągliwej nici w polu grawitacyjnym.
W obliczeniach będziemy zakładać, że
cała masa wahadła skupiona jest w zawieszonym na nitce ciele (nić nie ma masy);
nić jest nierozciągliwa (nie zmienia rozmiarów) i zachowuje się jak sztywny pręt (nie wygina się)
Zakładamy, że układ odniesienia umieszczony jest w punkcie równowagi wahadła.
Oznacza to, że ciało znajdujące się w tym punkcie nie ma energii potencjalnej.
Zakładamy, że wahadło umieszczone jest w jednorodnym polu grawitacyjnym i nie ma oporów ruchu (nie ma ośrodka materialnego wywołującego opory).
Przykładem zadania wykorzystującego właściwości wahadła prostego jest następujące zagadnienie
Zadanie - przykład rozwiązania
Jaką szybkość należy nadać kulce wiszącej na nitce o długości l, aby odchyliła się od początkowego położenia o kąt α?
Wahadło matematyczne można na rysunku przedstawić następująco:
Na ciało o masie m spoczywające na poziomym torze zaczyna w pewnej chwili działać pozioma niezrównoważona siła o stałej wartości F. Jaką drogę s przebędzie ciało w ciągu czasu t działania siły?
Wahadło odchylone o kąt α przedstawia kolejny rysunek
Na rysunku można teraz przedstawić trójkąt prostokątny utworzony przez
odcinek wahadła w stanie początkowym (położeniu równowagi),
wahadło w stanie wychylenia i
odcinek poziomy (prostopadły do wahadła w stanie równowagi) poprowadzony z punktu w którym znajduje się masa.
Zadanie z grawitacji
Jaką wartość ma pierwsza prędkość kosmiczna dla planety o masie Ziemi i promieniu p razy większym niż Ziemia?
Interesują nas:
kąt wychylenia α wahadła (kąt między wychylonym wahadłem a wahadłem w płożeniu równowagi)
przyprostokątna - długość wahadła l pomniejszona o wysokość h na jaką ciało podniosło się
przeciwprostokątna - długość wahadła l
Kąt wychylenia wahadła α spełnia warunek - kosinus kąta wychylenia α równy jest ilorazowi długości wahadła l pomniejszonej o wysokość h przez długość wahadła
Kosinus (cos α) kąta wychylenia α można przedstawić w trochę innej postaci
Z wyrażenia na kosinus kąta wychylenia wahadła α otrzymamy wyrażenie na wysokość h, na jaką wzniosło się ciało.
Zakładamy, że nie ma oporów ruchu i wahadło nie traci swej energii. następuje tylko ciągła przemiana energii kinetycznej i potencjalnej.
W chwili początkowej wahadło miało wyłącznie energię kinetyczną. Jest to energia kinetyczna ciała poruszającego się, zawieszonego na nieważkiej nici.
W chwili, gdy ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości będzie miało wyłącznie energię potencjalną.
Energię tę obliczamy względem punktu równowagi wahadła.
Wykorzystujemy więc zasadę zachowania energii mechanicznej (nie ma przemiany energii mechanicznej na inne formy i nie ma rozpraszania energii do ośrodka).
Porównanie obu wyrażeń na energię daje nam wyrażenie na prędkość w punkcie równowagi.
Jest to też prędkość początkowa.
Do wyrażenia na prędkość wahadła (ciała) wstawiamy wyrażenie na wysokość, na jaką wznosi się maksymalnie ciało. Wyrażenie to zawiera kąt wychylenia wahadła.
W rzeczywistych wahadłach musimy uwzględnić:
opory ruchu
własności nici (linki, pręta) na którym jest umocowane ciał.
Rozwiązanie zadania szkolnego - idealnego - daje ważną informację o tym jaka jest potrzebna minimalna prędkość w punkcie równowagi i tym samym jaka jest minimalna energia początkowa wahadła (poruszającego się ciała).
W zadaniach szkolnych (i nie tylko) często tego aspektu rozwiązań teoretycznych (idealnych) nie porusza się.
Podobnie bywa też przy analizie zagadnień z innych nauk, np. ekonomicznych. Wtedy wszelkie odstępstwa od przewidywań modelu często nazywane są błędami teorii, bez wnikania w istotę modelu i otrzymanego rozwiązania oraz relacji między modelem a realnym światem.
Wzory z fizyki = wzory potrzebne do rozwiązywania zadań
>Przykłady obliczania siły dośrodkowej. Zestawy przykładów uwzględniające różne wartości masy ciał, prędkości ruchu po okręgu i promienia tego okręgu.
Satelita geostacjonarny - jakie warunki musi spełniać satelita, by był stale nad tym samym punktem Ziemi?
Obliczenie masy Słońca Jak zmierzyć masę Słońca? Jakie dane są do tego potrzebne?
Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego
Pierwsza prędkość kosmiczna dla Ziemi. Z jaką prędkością porusza się sztuczny satelita Ziemi?
Obliczenie granicznej długości fali świetlnej wywołującej zjawisko fotoelektryczne w cezie.
Rozwiązane zadania z kinematyki
Wielkości opisujące ruch ciała - przykłady obliczania - przemieszczenie ciała - wektor zmiany położenia ciała.
Obliczanie szybkości średniej ruchu ciała.
Pocisk o masie m grzęźnie w desce po przebyciu odległości d. Przed uderzeniem w deskę pocisk poruszał się prostopadle do deski z prędkością v. Obliczyć siłę F działającą na pocisk w desce. Przyjąć odpowiednie założenia.
RozwiązanieDwa ciała o różnych masach poruszają się z takim samym przyspieszeniem. Ciało m2 ma masę 3 razy większą niż ciało m1. Siła działająca na ciało m2 jest równa 12 N. Jaka siła działa na ciało m1? Warunek - nie obliczać wartości przyspieszenia.
Z miasta A do B samochód przemieszczał się ze średnią szybkością v1=80 km/h. Drogę powrotną przebył z szybkością średnią v2=50 km/h. Jaka była średnia szybkość samochodu w czasie całej jazdy (czasu postoju nie wliczamy)?
Dwa kilogramy wody o temperaturze 10 stopni Celsjusza ogrzano do temperatury wrzenia w czajniku elektrycznym w ciągu 15 minut. Oporność R grzałki czajnika równa jest 25 omów. Jakim napięciem U zasilany był czajnik? Straty energii pomijamy. Ciepło właściwe wody c równe jest 4200 dżuli na kilogram i stopień Celsjusza. Rozwiązanie zadania
Pomoc z matematyki
Rozwiązane zadania i przykłady z matematyki
Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?