78. Cyfry znaczące
Cyfry znaczące
Obliczenia są w fizyce (i nie tylko) super ważne.
Podstawą fizyki są pomiary, eksperymenty. Bez danych liczbowych nie jest możliwa jakakolwiek systematyczna praca prowadząca do uogólnień - sformułowania zależności ilościowych.
Jak obliczać, by robić to dobrze i nie narobić się przy tym, a przy okazji nie natworzyć błędów?
Jak zapisywać wyniki z przyrządów pomiarowych (spisywać również automatycznie), aby otrzymać wynik pewny i nie zaśmiecający całości informacji?
Zacząć trzeba od podstaw. Od pojęcia cyfr znaczących.
Jest to potrzebne, żeby nie pisać niepotrzebnych tasiemców liczbowych - popatrz na wyniki otrzymywane w kalkulatorze w Windowsie albo w Linuxie (w widoku naukowym) - kilkadziesiąt cyfr. I po co?
Cyframi znaczącymi nazywamy cyfry, które są pewne, tzn. są dokładne lub różnią się od cyfry właściwej o 1.
Jeśli umówimy się, że liczby mają po 2 cyfry znaczące, to wartości podane będą w następujący sposób:
9,81 ≈ 9,8
1645 ≈ 1640
0,0349 ≈ 0,035
0,00721 ≈ 0,0072
W trakcie obliczeń staramy się, w miarę możliwości, zachować tę samą ilość cyfr znaczących w każdej liczbie. Wtedy w wyniku końcowym możemy zachować też taką samą ilość cyfr znaczących.
W przypadku, gdy w liczbach występuje różna ilość cyfr znaczących, to w wyniku końcowym bierzemy pod uwagę tylko tyle cyfr ile było w liczbie o najmniejszej ilości cyfr znaczących.
W przykładzie będziemy obliczenia przeprowadzać z dokładnością do 2 cyfr znaczących.
Dodawanie c = a + b,
gdzie a = 6,375 i b = 5,9785.
Wtedy możemy wziąć do obliczeń a ≈ 6,4 i b ≈ 6,0
i otrzymamy wynik c ≈ 6,4 + 6,0 = 12,4 ≈ 12
Dokładne obliczenia dają wynik
c = a + b = 6,375 + 5,9785 = 12,3515
Po przybliżeniu otrzymamy c ≈ 12,4
Wynik ten sam, a obliczenia znacznie prostsze, ale nie zawsze jest tak pięknie i przyjemnie.
Mnożenie c = a ∙ b, gdzie a = 6,375 i b = 5,9785.
Wtedy możemy wziąć do obliczeń a ≈ 6,4 i b ≈ 6,0
i otrzymamy wynik c ≈ 6,4 ∙ 6,0 = 38,4 ≈ 38
Dokładne obliczenia dają wynik
c = a ∙ b = 6,375 ∙ 5,9785 = 38,1129375 ≈ 38
Gdyby te same wielkości miały po 3 cyfry znaczące (pewne),
wtedy wyniki byłyby trochę inne
a + b = c dałoby wynik 6,375 + 5,9875 = 12,3515 ≈ 12,4,
a obliczenia przybliżone dałyby wynik
c ≈ 6,38 + 5,99 = 12,37 ≈ 12,4
Podobnie dla mnożenia d = a ∙ b dostaniemy
d = a ∙ b ≈ 6,38 ∙ 5,99 = 38,2162 ≈ 38,2
Dokładne obliczenia dają wynik
c = a ∙ b = 6,375 ∙ 5,9785 = 38,1129375 ≈ 38,1.
Rozbieżność wynosi 0,1 czyli ostatnią cyfrą znaczącą.
78.6-2008.03.25
kontakt