Strona na telefon

Zadania na ruch ciała po równi pochyłej.

Zakładamy, że układ znajduje się w jednorodnym, stałym polu grawitacyjnym.

Czy można zastosować taki model do sytuacji na powierzchni Ziemi, musimy ocenić.

Nacisk na równię zależy od kąta nachylenia równi.

Nacisk ciała na powierzchnię poziomą jest maksymalny - równy ciężarowi ciała.

Nacisk na pionową równię jest równy zero - taternik (alpinista, himalaista) wisi na linie przy ścianie.

Warunek na ruch jednostajny na równi wiąże ze sobą tarcie i siłę zsuwającą (składową siły ciężaru ciała równoległą do równi).

Siła zsuwająca zależy od kąta nachylenia równi.

Siła tarcia zależy od siły nacisku i współczynnika tarcia między stykającymi się powierzchniami.

Ruch na równi pochyłej

Spis treści

Ruch na równi pochyłej

1. Siła nacisku na podłoże

2. Ruch ciała na równi

3. Ruch jednostajny

4. Ruch jednostajnie przyspieszony na równi

6. Ruch po powierzchni poziomej z tarciem

1. Siły działające na ciało na równi

Pomijamy siłę tarcia.

Siła nacisku na podłoże

Pion - to kierunek wyznaczony przez siłę ciężkości, poziom - to kierunek prostopadły do pionu.

Dalej zakładamy, że równia (podłoże) jest doskonale sztywne (nie odkształca się na całej powierzchni).

Ciało leży na płaskim, poziomym podłożu - naciska na podłoże siłą równą ciężarowi tego ciała. Nacisk jest prostopadły do podłoża.

Ciało wisi przy pionowej, gładkiej ścianie - ciało nie naciska na ścianę. Nacisk ciała na ścianę jest równy zero.

Ciało leży na równi pochyłej nachylonej pod kątem ostrym do poziomu. Wtedy siłę ciężkości (ciężar ciała) możemy rozpatrywać jako złożenie (sumę) dwóch sił - siły równoległej do równi i siły prostopadłej do równi.

Siła równoległa do równi może wprawić ciało w ruch - jeśli pokona siłę tarcia statycznego.

Siła prostopadła do równi - wywiera nacisk na równię (i zgodnie z założeniem nie powoduje żadnego widocznego skutku).

Siłę ciężkości trzeba rozłożyć na składowe - siłę równoległa do równi i siłę prostopadłą do równi. Otrzymamy wtedy dwa trójkąty prostokątne podobne - jeden utworzony przez siły składowe i siłę ciężkości oraz drugi utworzony przez równię, jej podstawę i wysokość (traktujemy równię jak rampę).

Master slide Q F n F z α α α s h l

2. Ciało na równi w jednorodnym polu grawitacyjnym

Z warunku na podobieństwo trójkątów otrzymamy

Siła nacisku maleje od wartości maksymalnej (równej ciężarowi ciała) do wartości zero wraz ze wzrostem kąta nachylenia równi od 00 do 900

Master slide h F z = l F n = s Q cos α = l s cos α = F n Q F n = Q · cos α F z - siła zsuwająca F n - siła nacisku na równię Q - ciężar ciała h - wysokość równi l - długość podstawy równi s - długość równi

3. Ruch ciała na równi

Ciało zsuwa się po równi.

Pomijamy moment ruszania ciała - wtedy siła tarcia gwałtownie maleje. Początkowa siła tarcia statycznego rośnie do wartości maksymalnej, gdy siła zsuwająca jest większa ciało rusza, a wtedy siła tarcia zmniejsza się (tarcie kinetyczne jest mniejsze niż tarcie statyczne).

Zakładamy, że siła tarcia kinetycznego jest stała. Wtedy na ciało działa stała siła - wypadkowa siły ciężkości i siły tarcia kinetycznego. Ponieważ siła nacisku nie powoduje zsuwania ciała, możemy ją pominąć w obliczeniach. Całkowita siła powodująca ruch jest sumą siły zsuwającej i siły tarcia. Siła wypadkowa powodująca ruch ciała jest równa sile zsuwającej (składowej siły ciężkości działającej wzdłuż równi) pomniejszonej o siłę tarcia kinetycznego działającej wzdłuż równi przeciwnie do kierunku ruchu ciała.

Master slide F w = F z - T kin F z = Q · sin α T kin = F n · f F n = Q · cos α T kin = f · Q · cos α F w = Q · sin α - f · Q · cos α

4. Ruch jednostajny na równi

Ciało zsuwa się po równi pochyłej ruchem jednostajnym, gdy na ciało to nie działa siła wypadkowa. Siła ta jest równa zero. Sytuacja ta zachodzi wtedy, gdy ciało porusza się w dół równi ze stałą prędkością, do której ciało zostało wcześniej rozpędzone.

Master slide F w = F z - T kin F z = Q · sin α T kin = F n · f F n = Q · cos α T kin = f · Q · cos α F w = Q · sin α - f · Q · cos α 0 = Q · sin α - f · Q · cos α Q · sin α = f · Q · cos α sin α = f · cos α f = sin α cos α = tg α f = tg α = tg 30 0 = 0,577350 ... f 0,58

5. Ruch jednostajnie przyspieszony na równi

Ciało zsuwa się po równi pochyłej ruchem jednostajnie przyspieszonym, gdy na ciało to działa stała siła wypadkowa różna od zera. Sytuacja ta zachodzi wtedy, gdy ciało porusza się w dół równi i siła wypadkowa jest większa od zera (jest skierowana w dół równi - zgodnie ze zwrotem prędkości początkowej).

Master slide F w = F z - T kin F z = Q · sin α T kin = F n · f F n = Q · cos α T kin = f · Q · cos α F w = Q · sin α - f · Q · cos α 0 < Q · sin α - f · Q · cos α Q · sin α > f · Q · cos α sin α > f · cos α f < sin α cos α = tg α f < tg α = tg 30 0 = 0,577350 ... f < 0,577

6. Ruch po powierzchni poziomej z tarciem

Na klocek działają cztery siły - ciężar ciała, siła sprężystości podłoża, siła pozioma i siła tarcia. Jeśli założymy, że podłoże jest doskonale sprężyste i nie odkształca się, to na ruch klocka wpływać będą tylko siły poziome. Siła tarcia i siła zewnętrzna będą miały przeciwne zwroty. Jeśli ciało zostało wcześniej poruszone i miało jakąś prędkość początkową, to ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym (zakładamy, że pozioma zewnętrzna siła ma stały kierunek i zwrot). Siła tarcia kinetycznego ma stałą wartość, bo zależy ona od siły nacisku i współczynnika tarcia kinetycznego. Dla doskonale sprężystego podłoża i doskonale sprężystego ciała wartość współczynnika tarcia będzie stała. Jednocześnie dla podłoża doskonale sprężystego i poziomego siła nacisku będzie cały czas miała kierunek pionowy (prostopadły do podłoża) i stała wartość. Siła nacisku będzie miała stała wartość równą wartości ciężaru ciała. Oznacza to, że wartość siły tarcia kinetycznego będzie równa iloczynowi współczynnika tarcia kinetycznego i siły nacisku (ciężaru ciała).

Masa ciała równa jest 2 kg, siła zewnętrzna pozioma ma wartość 10 N, przyspieszenie grawitacyjne równe jest 10 m/s2

Master slide m = 2 kg f = 0,1 g = 9,81 m s 2 F w = F - T kin T kin = F n · f F n = Q = m · g T kin = f · Q F w = F - f · Q a = F w m a = F - f · Q m a = F - f · m · g m a = F m - f · g a = 10 N 2 kg - 0,1 · 9,81 m s 2 a = 5 m s 2 - 0,98 m s 2 = 4,02 m s 2

7. Ruch po powierzchni poziomej z tarciem

Na klocek działają cztery siły - ciężar ciała, siła sprężystości podłoża, siła pozioma i siła tarcia. Jeśli założymy, że podłoże jest doskonale sprężyste i nie odkształca się, to na ruch klocka wpływać będą tylko siły poziome. Siła tarcia i siła zewnętrzna będą miały przeciwne zwroty. Jeśli ciało zostało wcześniej poruszone i miało jakąś prędkość początkową, to ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym (zakładamy, że pozioma zewnętrzna siła ma stały kierunek i zwrot). Siła tarcia kinetycznego ma stałą wartość, bo zależy ona od siły nacisku i współczynnika tarcia kinetycznego. Dla doskonale sprężystego podłoża i doskonale sprężystego ciała wartość współczynnika tarcia będzie stała. Jednocześnie dla podłoża doskonale sprężystego i poziomego siła nacisku będzie cały czas miała kierunek pionowy (prostopadły do podłoża) i stała wartość. Siła nacisku będzie miała stała wartość równą wartości ciężaru ciała. Oznacza to, że wartość siły tarcia kinetycznego będzie równa iloczynowi współczynnika tarcia kinetycznego i siły nacisku (ciężaru ciała).

Masa ciała równa jest 2 kg, siła zewnętrzna pozioma ma wartość 1,5 N, przyspieszenie grawitacyjne równe jest 10 m/s2

Co będzie się działo, gdy siła zewnętrzna równa będzie 1,5 N? Siła tarcia kinetycznego będzie równa także iloczynowi współczynnika tarcia kinetycznego i ciężaru ciała.

Master slide F = 1,5 N - siła zewnętrzna m = 2 kg - masa ciała f = 0,1 - współczynnik tarcia g = 9,81 m s 2 F w = F - T kin T kin = F n · f F n = Q = m · g T kin = f · Q F w = F - f · Q a = F w m a = F - f · Q m a = F - f · m · g m a = F m - f · g a = 1,5 N 2 kg - 0,1 · 9,81 m s 2 a = 0,75 m s 2 - 0,98 m s 2 = - 0,23 m s 2

Oznacza to, że ciało nie będzie się poruszać, jeśli nie zostało wcześniej rozpędzone. Jeśli natomiast ciało wcześniej zostało rozpędzone, to pod wpływem siły 1,5 N i siły tarcia ciało będzie poruszało się ruchem opóźnionym do zatrzymania się.